В произвольном коммутативном кольце может быть построена теория чисел, если для этого кольца справедлива теорема об однозначном разложении всякого его элемента на конечное число простых множителей. Например, кольцо целых чисел   Z .

Простейшее после   Z   кольцо, для которого была построена теория чисел, аналогичная обычной,   есть гауссово кольцо   Целых Комплексных Чисел (ЦКЧ)   Zμ[j] .   Гаусс в 1824 г. показал, что в этом кольце бесконечное число простых чисел и что всякое заданное число этого кольца представляется одним и только одним способом в виде произведения конечного числа этих простых и ещё одной из четырех единиц   (+1,+j,-1,-j)   кольца ЦКЧ   Zμ[j] .

Комплексное число будем называть простым комплексным числом, если оно не может быть представлено в виде произведения двух комплексных чисел, отличных от 1.   Комплексное число   γ=r1+jr2   будет кратно комплексному μ=p+jq   (т.е. μ | γ),   если частное   γ:μ   является ЦКЧ, а это будет тогда, когда

Из этих уравнений можно найти зависимости между   r1 и r2

Теорема Гаусса. Всякое ЦКЧ   γ = a+jb   из кольца

Изоморфизм Гаусса ρ позволяет заменить выполнение операций над комплексными ВЫЧЕТами выполнением тех же операций над соответствующими им вещественными ВЫЧЕТами по целому модулю, равному норме комплексного модуля, т.е.

Выше полученные зависимости между   r1 и r2   примут вид

Теорема. Если   ε = a+jb — ЦКЧ взаимно простое с ЦКЧ   μ , то

Теорема. Если   ε = a+jb — ЦКЧ взаимно простое с ЦКЧ   μ , а   T — наименьшее из чисел, при которых

При наименьшем T таком, что T=φ(N), где φ — функция Эйлера, КОРЕНЬ ε будет примитивным (primitive) по модулю ЦКЧ   μ .

Теорема. Если   ε — примитивный КОРЕНЬ по модулю ЦКЧ μ и Norma(μ)=N, то члены ряда (из N−1 значений)

Пусть   μ=p+jq — ЦКЧ, где НбОД (p,q)=1, а   ε=a+jb — ЦКЧ взаимно простое с ЦКЧ   μ . Тогда ЦКЧ   ε   будет принадлежать мультипликативной группе (приведенной системе ВЫЧЕТов по модулю μ) кольца  Zμ[j] и иметь некоторый период   T   такой, что   T|φ(N) , где   N — норма ЦКЧ   μ .

Построим систему функций на группе   GT   целых чисел t:

NB. Значит гармонический анализ комплексных сигналов   γ[t]   в кольце ЦКЧ Гаусса можно перенести в кольцо целых чисел по модулю N, например, вычисляя спектр Рейдера   SRader[w]   сигнала   ρ(γ[t])   и применяя обратный изоморфизм Гаусса   ρ−1(SRader[w])   получим спектр Гаусса   SGauss[w]   комплексного сигнала   γ[t]   (смотри схему) .

Вычисление спектра Гаусса через ЧП Ферма. ЦКЧ   γ[t] , целые   x[t]=ρ( γ[t] )                     T-1 SγGauss[w] = ∑ γ[t] εwt ( mod μ ) ,                     t=0              w = 0,1,...,T-1                    T-1 SxRader[w] = ∑ x[t] rootwt (mod N)                    t=0             w = 0,1,...,T-1 SγGauss[w] = ρ−1( SxRader[w] )

Тоже самое и для свёртки двух сигналов из ЦКЧ.

Вычисление свёртки двух комплексных векторов через ЧП Ферма. ЦКЧ   γ[t] = ξ[t] * η[t] целые   x[t]=ρ(ξ[t]), h[t]=ρ(η[t]) γ[t] = ρ−1( ρ(γ[t]) ) SxRader[w] = ЧП Ферма ( x[t] ) ShRader[w] = ЧП Ферма ( h[t] ) ρ(γ[t]) = оЧП-Ф ( SxRader[w]·ShRader[w] )

NB. Это позволяет по новому взглянуть на машинную реализацию ДП Фурье комплексных сигналов, а именно, рассматривая их как сигналы в кольце ЦКЧ Гаусса и вычисляя их спектры в кольце целых чисел через ЧП Ферма (или ТЧП Рейдера, в которых умножения заменяются на сдвиги и сложения) с возвратом обратно в кольцо ЦКЧ Гаусса.

Теорема. Если ε принадлежит кольцу ЦКЧ Zμ[j] , и Norma(ε) — простое целое число, то ε — простое число Гаусса.

Теорема. Норма простого числа Гаусса является либо простым числом, либо квадратом простого числа. Соответственно различают простые числа Гаусса I-го и II-го порядка.

Простые натуральные (целые положительные) числа, равные нормам простых ЦКЧ Гаусса, называются разложимыми. Простые натуральные числа, остающиеся простыми в кольце Zμ[j] , называются неразложимыми.

Теорема. Каждое простое число p=4s+1 является разложимым в кольце

Теорема. ТЧП Гаусса по модулю μ — примитивного числа Гаусса (т.е. НбОД (p,q)=1), существует тогда и только тогда, когда норма N — нечетное целое и имеет максимальный объём преобразования, выражающийся числом вида 4s.

NB. Наиболее широко используются кольца   Zμ[j]   такие, у которых ПСАНВ± по модулю   μ   геометрически ближе всего к квадрату со сторонами, параллельными осям координат. Это будет в том случае, когда   p и q   сильно отличаются друг от друга по абсолютной величине.

Например, при   p=1 и q=2b/2 ,   где   b=2n, n=1,2,...
норма ЦКЧ   μ = p+jq

Естественно, что модульные операции накладывают ограничения на условия существования связи между спектром Гаусса   SGauss[w]   и Рейдера   SRader[w] .

Найдём условия, при которых использование   Zμ[j]-арифметики   (т.е. по модулю ЦКЧ Гаусса   μ=p+jq ) приводит к тем же результатам, что и вычисление свёртки в   Z[j]-арифметике   (обычных целых комплексных чисел). Очевидно, это возможно в том случае, когда результаты, вычисленные в кольце Гаусса   Zμ[j] , лежат внутри ПСАНВ± по модулю ЦКЧ Гаусса   μ .   Если отвести под мнимую и действительную части ЦКЧ Гаусса одинаковые "динамические" диапазоны, то значения комплексной свёртки   γ[t]   должны попасть внутрь квадрата P1P2P3P4 с центром в начале координат, у которого, например, вершина   P1   имеет координаты

Поэтому для свёртки   γ[k]   комплексных сигналов   η[t] и ξ[t]   имеем

Пусть, например,   N=Fn=F5=232+1 ,   т.е.   p=1 , q=216 и T=28 . Тогда

Или иначе (точнее) выражение для динамического диапазона комплексных сигналов   η[t] и ξ[t]   при вычислении свёртки    γ[k]   в кольце ЦКЧ Гаусса можно записать так

Точно такие же формулы для оценки динамического диапазона комплексного сигнала из ЦКЧ Гаусса будут и при вычислении ТЧП в кольце Гаусса

max |ЦКЧγ[k]|   ≤   ⌋ ( N/(p+q) )/2 ⌊   ≈   ( Fn-1−1 )/2 .

2T · max |ЦКЧξ[t]|   ≤   ⌋ ( N/(p+q) )/2 ⌊   ≈   ( Fn-1−1 )/2 .

Однако, для комплексных сигналов с нулевой мнимой частью имеем

T · max |ЦКЧξ(re)[t]|   ≤   ⌋ ( N/(p+q) )/2 ⌊   ≈   ( Fn-1−1 )/2 .

NB. Однако, любознательный читатель мог заметить, что в формуле обратного преобразования-изоморфизма Гаусса   ρ−1   присутствует деление на норму комплексного модуля   N=Norma(μ) . Казалось бы, это деление, как ложка дёгтя, портит всю бочку мёда с ТЧП Гаусса и ЧП Ферма в том смысле, что при их вычислении можно обойтись без умножений и делений. Но при выборе комплексного модуля из компонент числа Ферма   Fn-1 , т.е. в виде

О, здесь (и не только здесь!), чувствуется рука Великого гасконца и мага науки о числах Пьера де Ферма. В этом можно убедиться, заглянув в страну "Зазеркалье", куда повёл белый кролик в жилетке с часами любопытную девочку Алису. "И так, за мной мой читатель..." к следующим чудесам и диковинкам.

Выше были рассмотрены ограничения, накладываемые на "динамический" диапазон входных сигналов, на результат свёртки и на модуль ТЧП Гаусса μ=p+jq ,   от выбора которого многое зависит. Даже при одинаковой норме   N   выбор конкретных   p и q   очень важен. Было показано, что лучше, если   p и q сильно отличаются друг от друга, т.е. p >> q   или   p << q .

Поэтому выбор чисел Ферма   Fn = 1+22n = 1+2b   в качестве нормы   N   просто очевиден.   В этом случае   p=1   и   q=2b/2 .   Значит, если

Но это же эквивалентно тому требованию, что амплитуда результата свёртки (уже вещественных и целочисленных) векторов   y[t] = ρ( γ[t] )   должна лежать внутри ПСАНВ± по модулю числа Ферма   Fn-1

А для входных данных комплексной свёртки ограничения на значения по абсолютной величине (т.е. на амплитуду мнимой и действительной компонент) ещё большие

Но это же равносильно тому требованию, что амплитуда входных данных h[t] = ρ( η[t] )   и   x[t] = ρ( ξ[t] )   для (уже вещественной и целочисленной) свёртки должна лежать внутри ПСАНВ± по модулю числа Ферма   Fn-2

NB. В итоге получается интересное соотношение между величиной модуля преобразования ( при   N=Fn ), диапазоном результата операции (ЧП Ферма или ЦС) и диапазоном входных данных (это при условии, что входные данные поступают из кольца ЦКЧ Гаусса)

( √T · 2·(ЦКЧ)A η,ξ ) : (2·(ЦКЧ)A γ ) : N   ≈                ≈   √ N/(p+q) : N/(p+q) : N   ≈ ≈   2b/4 : 2b/2 : 2b

( √T · 2·(ЦЧ)A x,h ) : (2·(ЦЧ)A y ) : N   ≈         ≈   Fn-2 : Fn-1 : Fn   ≈     ≈   22n-2 : 22n-1 : 22n

Возможно, что именно из-за этого соотношения исчезает деление на   N=Fn   из формулы для   ρ−1 .