|
◄ ЧП Ферма
◄ ТЧП Гаусса
Выше ▲
|
|
ДПФ квантованных сигналов в кольце Гаусса |
|
μ = p+jq
N = p2+q2 ρ( Zμ[j] ) = ZN |
И всё-таки она вертится !..
Г.Галилей, 1633 г.
Ну, что? Рискнём?..
Генеральный Конструктор,
С.П.Королёв, 1950-е . |
ДП Фурье квантованных сигналов в кольце ЦКЧ Гаусса.
Зададимся целью научиться вычислять ДП Фурье векторов из целых комплексных чисел, определенных в кольце Z[j] или в поле обычных комплексных чисел C
(c)SФурье(w)
=
(c)FФурье
·
(c)xкв(t)
но в модулярном кольце ЦКЧ Гаусса, т.е. после квантования сигнала и масштабирования матрицы ДПФ множителем КВАНТ
(ЦКЧ)FФурье
=
КВАНТ · (c)FФурье
,
(ЦКЧ)x[t]
=
(c)xкв(t)
получим Фурье-спектр уже квантованного сигнала в кольце ЦКЧ Гаусса
(ЦКЧ)SФурье[w]
=
〈
(ЦКЧ)FФурье
·
(ЦКЧ)x[t]
〉μ
.
Это при условии, что значения спектра
(ЦКЧ)SФурье[w]
лежат в ПСАНВ± по модулю ЦКЧ Гаусса
μ
.
Попробуем вычислить Фурье-спектр квантованного сигнала со значениями в кольце ЦКЧ Гаусса, перейдя к чисто вещественному (целочисленному) сигналу по модулю числа Ферма такому, что Fn = N = p2+q2 = Norma(μ) . Тогда, используя ρ-изоморфизм Гаусса, получим спектр Фурье-Гаусса вещественных (целочисленных) сигналов по модулю числа Ферма
(ЦЧ)SФурье-Гаусса[w]
=
〈
ρ(
(ЦКЧ)SФурье[w]
)
〉Fn
=
=
〈
ρ(
(ЦКЧ)FФурье
·
(ЦКЧ)x[t]
)
〉Fn
=
=
〈
ρ(
(ЦКЧ)FФурье
)
·
ρ(
(ЦКЧ)x[t]
)
〉Fn
.
Обратно имеем
(ЦКЧ)SФурье[w]
=
ρ−1(
(ЦЧ)SФурье-Гаусса[w]
)
.
Не забудем и про условие существование такой обратимости, т.е. выражения для ограничения динамического диапазона значений Фурье-спектра и сигнала
Здесь абсолютная величина | (ЦКЧ)xT[t] | берётся и для действительной и для мнимой части комплексных данных. Поэтому и ( N/(p+q) )/4 . Представим спектр Фурье-Гаусса целочисленных сигналов по модулю числа Ферма так
(ЦЧ)STФурье-Гаусса[w]
=
=
〈
ρ(
(ЦКЧ)FT,TФурье
)
·
RT,T−1
·
RT,T
·
ρ(
(ЦКЧ)xT[t]
)
〉Fn
=
=
〈
ρ(
(ЦКЧ)FT,TФурье
)
·
RT,T−1
·
STRader[w]
〉Fn
=
=
〈
(ЦЧ)U2
·
STRader[w]
〉Fn
,
где
RT,T
и
RT,T−1
— матрицы прямого и обратного преобразования Ферма (с базовым элементом Рейдера),
а
(ЦЧ)U2
— матрица перехода из базиса Рейдера в базис Фурье-Гаусса (в том же поле или кольце
по модулю числа Ферма).
И наоборот, выразим Фурье-спектр в ЦКЧ Гаусса через спектр Фурье-Гаусса целочисленных сигналов, заданных в поле или кольце по модулю числа Ферма, так
(ЦКЧ)STФурье[w]
=
ρ−1(
(ЦЧ)STФурье-Гаусса[w]
)
=
=
ρ−1(
ρ(
(ЦКЧ)FT,TФурье
)
·
RT,T−1
·
STRader[w]
)
=
=
(
(ЦКЧ)FT,TФурье
·
ρ−1(RT,T−1)
·
ρ−1(STRader[w])
)
=
=
(
(ЦКЧ)U1
·
ρ−1(STRader[w])
)
,
где
(ЦКЧ)U1
−
матрица перехода от спектра из ЦКЧ (полученного из базиса Рейдера)
к спектру Фурье в кольце ЦКЧ Гаусса.
Матрица перехода (ЦЧ)U2 является слабозаполненной и поэтому можно построить БА для оценки Фурье-спектра путём предварительного расчёта спектра Рейдера
(ЦКЧ)SФурье[w]
=
ρ−1
(
(ЦЧ)SФурье-Гаусса[w]
)
=
=
ρ−1
(
(ЦЧ)U2
·
SRader[w]
)
.
Например, пусть число уровней квантования в матрице Фурье равно 3, т.е. масштабный множитель КВАНТ=3, а
T=8 (здесь масштабный множитель применяется не к сигналу, а к матрице преобразования).
Тогда матрица
Пусть модуль кольца ЦКЧ Гаусса μ=p+jq=1+j24 . Тогда его норма
N
=
p2+q2
=
Norma(μ)
=
12+(24)2
=
1+256
=
257
=
F3
.
При этих параметрах кольца Гаусса изоморфизм ρ = q/p = 16/1 = 16 . Найдём матрицу Фурье-Гаусса 8 на 8
(ЦЧ)F8,8Фурье-Гаусса
=
〈
ρ(
(ЦКЧ)FФурье
)
〉F3
=
Найдём матрицу обратного преобразования Рейдера по модулю числа Ферма F3
(ЦЧ)U2
=
〈
ρ(
(ЦКЧ)FФурье
)
·
(ЦЧ)R−1
〉F3
=
Теперь, для комплексного целочисленного сигнала с нулевой мнимой компонентой (ЦКЧ)x8[t] = [0,1,0,0,0,1,0,0] , который удовлетворяет условию для динамического диапазона
при помощи ЧПФ найдём спектр Рейдера по модулю F3
,
но сначала переведём комплексный сигнал из кольца ЦКЧ Гаусса в вещественный (целочисленный) сигнал в поле по модулю числа Ферма
F3
(ЦЧ)x8[t]
=
ρ(
(ЦКЧ)x8[t]
)
=
[0,1,0,0,0,1,0,0]
.
Найдём спектр Рейдера по модулю F3
SRader[w]
=
〈
(ЦЧ)R
·
ρ(
(ЦКЧ)x8[t]
)
〉F3
=
А теперь найдём целочисленный спектр Фурье-Гаусса по модулю F3
(ЦЧ)SФурье-Гаусса[w]
=
〈
8−1
·
(ЦЧ)U2
·
SRader[w]
〉F3
=
Действуя на полученный вектор-спектр Фурье-Гаусса, найденный в поле
по модулю числа Ферма
F3
,
обратным изоморфизмом Гаусса (преобразованием)
(ЦКЧ)SФурье[w]
=
ρ−1
(
(ЦЧ)SФурье-Гаусса[w]
)
=
[ 6, 0, 6j, 0, −6, 0, −6j, 0]
.
Учитывая масштабный множитель КВАНТ=3 найдём окончательную оценку комплексного Фурье-спектра исходного сигнала (рассчитанную в кольце ЦКЧ Гаусса через ЧП Ферма):
(c)SФурье(w)
=
(ЦКЧ)SФурье[w]
/
КВАНТ
=
( 2, 0, 2j, 0, −2, 0, −2j, 0 )
.
В данном случае оценка спектра совпадает с самим Фурье-спектром исходного сигнала, рассчитанным в поле обычных комплексных чисел C . 
Можно проверить выполнение условий для динамического диапазона комплексного спектра Фурье (ЦКЧ)S8Фурье [w] в кольце ЦКЧ Гаусса. Сперва сделаем это для вещественных компонент отсчетов спектра
║
(ЦКЧ)S8(re)[w]
║
2
≤
⌋
( N/(p+q) )/2
⌊
=
(
Fn
/
Fn-1
)/2
≈
(
Fn-1
)/2
,
а теперь для мнимых компонент отсчетов спектра
( 8−1 . (62+0+0+0+|−6|2+0+0+0) )1/2 = ( 8−1 . (36+36) )1/2 = ( 9 )1/2 = = 3 ≤ ( (256+1) / (1+16) ) /2 ≈ 16/2 ,
║
(ЦКЧ)S8(im)[w]
║
2
≤
⌋
( N/(p+q) )/2
⌊
=
(
Fn
/
Fn-1
)/2
≈
(
Fn-1
)/2
,
При использовании другой нормы
( 8−1 . (0+0+62+0+0+0+|−6|2+0) )1/2 = ( 8−1 . (36+36) )1/2 = ( 9 )1/2 = = 3 ≤ ( (256+1) / (1+16) ) /2 ≈ 16/2 .
║
f(t)
║
=
max | (ЦКЧ)S8(re)[w] |
=
6
≤
⌋
( N/(p+q) )/2
⌊
≈
16/2
условие для динамического диапазона также выполняется.
|
Если у тебя есть фонтан, заткни его;
дай отдохнуть и фонтану.
Козьма Прутков
"Мысли и афоризмы",22.
|
|
◄ ЧП Ферма ◄ ТЧП Гаусса В начало текущей ▲ |
|
Последнее обновление 16.09.2013
© 2005 г., Александр Тимофеев, г.Харьков, Украина, eMail: atimopheyev@yahoo.com |