Цифровая Обработка Сигналов (ЦОС) занимается изучением сигналов в виде последовательностей чисел, представимых в цифровых компьютерах. Поэтому точнее было бы назвать эту дисциплину Обработкой Цифровых Сигналов (Digital Signals Processing — DSP). К ЦОС можно отнести все численные методы для цифровых компьютеров, однако основными операциями ЦОС являются две: вычисление частотного спектра сигнала и свертка двух сигналов во временной области. Этими проблемами занимались математики ещё в XVIII веке. Фурье показал, что непрерывную функцию f(t) можно разложить в бесконечный тригонометрический ряд для дальнейшего анализа. В XX веке до появления в 1965 алгоритма Быстрого Преобразования Фурье (БПФ) обработка сигналов, как правило, выполнялась при помощи аналоговых устройств. Поэтому в начале своего развития ЦОС рассматривалась лишь как аппроксимация аналоговых методов. Однако эволюция понимания природы цифровых сигналов привела к тому, что ЦОС стали рассматривать как самостоятельную дисциплину, в которой есть своя специфика и отличия от аналоговой обработки сигналов. Рассмотрим под этим углом зрения, т.е. с позиций Теории Чисел, некоторые подходы к вычислениям при ЦОС. Начнём с классификации сигналов и числовых полей.

Сигналы подразделяются на непрерывные, дискретные по времени, квантованные по амплитуде и цифровые (дискретные по времени и квантованные по амплитуде). Формально сигнал, как функцию времени f(t), можно описать шестёркой параметров:

Отметим, что тип абелевой группы H значений сигнала (т.е. параметр f(t)-H) зависит от трёх других параметров: { t-Set , t-Range , f(t)-Range } и может принимать такие значения:

— бесконечная группа ∞H∞ при
{ t-Set=континуум, t-Range= ( -∞, +∞ ) , f(t)-Range= ( -∞, +∞ ) }
у непрерывного сигнала на бесконечном интервале времени;

— бесконечная группа ∞Htime при
{ t-Set=континуум, t-Range=[0,time), f(t)-Range= ( -∞, +∞ ) }
у непрерывного сигнала на конечном непрерывном интервале времени [0,time);

— бесконечная группа ∞H∞ при
{ t-Set=счётное, t-Range= [ 0,1,…+∞ ) , f(t)-Range= ( -∞, +∞ ) }
у дискретного сигнала на бесконечном дискретном интервале времени;

— бесконечная группа MH∞ при
{ t-Set=счётное, t-Range= [ 0,1,2,… +∞ ) , f(t)-Range= f[t] mod M }
у цифрового (квантованного и дискретного) сигнала на бесконечном дискретном интервале времени, значения сигнала f[t] = xкв[n·Δt] представлены в конечном поле GF(M) или в модулярном числовом кольце;

— конечная циклическая группа ∞HN при
{ t-Set=счётное, t-Range=[0,1,2,…,N-1], f(t)-Range= ( -∞, +∞ ) }
у дискретного N-периодического сигнала на конечном непрерывном интервале времени [0,time), а конечная группа HN — это или циклическая группа GN или пряморазложимая группа ( H1 ⊕…⊕ Hk ), значения сигнала   f(t) = x(n·Δt) представлены в бесконечном поле комплексных чисел C ;

— конечная циклическая группа MHT при
{ t-Set=счётное, t-Range=[0,1,2,…,T-1], f(t)-Range= f[t] mod M }
у цифрового (квантованного и дискретного) T-периодического сигнала, а конечная группа HN — это или циклическая группа GT или пряморазложимая группа   ( H1 ⊕…⊕ Hk ), значения сигнала   f[t] = x[t]   представлены в конечном поле GF(M)   или в модулярном числовом кольце.

Детальная классификация сигналов по шестёрке параметров показана в таблице:

Из таблицы видно, что в цифровом компьютере могут быть представлены только конечные дискретные сигналы (пригодные для ЦОС), которые определены на конечном (непрерывном) временном интервале [ 0,time ), в виде N-точечных дискретных последовательностей чисел x(n·Δt) — из поля комплексных чисел C (в формате float/REAL, т.е. с плавающей десятичной точкой) или в виде последовательностей длины T целых чисел x[t] — из разных модулярных числовых полей (в формате int/INTEGER).

Основные операции ЦОС — спектр и свертка двух сигналов — требуют при прямом вычислении N² умножений, где N — длина последовательности. Быстрые алгоритмы при N=pv уменьшают эту оценку до N·logp(N) = N·v, но при больших N число медленных операций (комплексных умножений) всё ещё велико. К тому же, время выполнения умножения чисел в формате float с плавающей точкой (в поле C) и целых чисел в формате int (в модулярном поле) может отличаться в несколько раз. Поэтому математиков всегда интересовала возможность вычислять в целых числах, но результаты переводить в поле комплексных чисел, где их привычней анализировать.

NB. Именно стремление разобраться в быстрых алгоритмах вычисления спектра и свертки сигналов при помощи Теории Чисел, путём погружения целочисленных сигналов в модулярные числовые поля, и является нашей целью или предметом нашей страсти.